python积分计算高等数学，高等数学曲面积分

1.不定积分 常见不定积分公式

1.不定积分2大类题型： 1.不定积分计算 2.不定积分杂例

若 f f f在区间 I I I上连续，则 f f f在区间 I I I上一定有原函数。
若 f f f在区间 I I I上有第一类间断点，则 f f f在 I I I上没有原函数。

2.不定积分性质：

3.不定积分计算方法：

1.第一类换元
2.第二类换元(三角代换)
3.分部积分法

无法进行积分的积分：
∫ e ? x 2 d x \int e^{-x^2} dx ∫e?x2dx、 ∫ sin ? x x d x \int \frac{\sin x}{x} dx ∫xsinx?dx、 ∫ cos ? x x d x \int \frac{\cos x}{x} dx ∫xcosx?dx

tan ? 2 x = 2 tan ? x 1 ? ( tan ? 2 x ) \tan 2x=\frac{2\tan x}{1-(\tan^2 x)} tan2x=1?(tan2x)2tanx?

题型：已知 F ( x ) , f ( x ) F(x),f(x) F(x),f(x)，求 f ( x ) f(x) f(x)

2.定积分 1.定积分4大类题型： 1.定积分的概念、性质及几何意义 2.定积分计算 3.变上限定积分函数及其应用 4.积分不等式 2.定积分概念、几何意义

3.定积分的存在性

4.定积分的计算

5.变上限积分函数及应用 6.定积分的性质

中值定理应用1 中值定理应用2 中值定理应用3(求极限)

定积分计算

原函数不好找到时：

区间不动，令 t = a + b ? x t=a+b-x t=a+b?x

变上限积分函数及其应用

概念题1

概念题2

概念题3

变上限积分求极限解法：

1.传统方法（洛必达）
2.等价代换
3.积分中值定理

例题

反函数:

g ( f ( x ) ) = x g(f(x))=x g(f(x))=x

反函数相关积分例题

3.反常积分 常用反常积分的判别敛散性公式：

应用实例：

∫ 0 1 x l n P x d x { P > 0 收 敛 } \int_{0}^{1} xln^Pxdx \begin{Bmatrix}P>0 收敛 \\ \end{Bmatrix} ∫01?xlnPxdx{P>0收敛?}
∫ 0 1 l n P x d x { P > 0 收 敛 } \int_{0}^{1} ln^Pxdx \begin{Bmatrix}P>0 收敛 \\ \end{Bmatrix} ∫01?lnPxdx{P>0收敛?}

比较判别法

小的发散，大的一定发散。
大的收敛，小的一定收敛。

P级数/P积分(无限区间)：

∫ a + ∞ 1 x P d x ( a > 0 ) { P > 1 收 敛 P ≤ 1 发 散 } \int_{a}^{+\infty } \frac{1}{x^P}dx(a>0)\begin{Bmatrix}P>1 收敛 \\P\le 1 发散 \end{Bmatrix} ∫a+∞?xP1?dx(a>0){P>1收敛P≤1发散?}

瑕点在区间中间，分成左右两段，左右极限都存在，才收敛。

q积分(有限区间)：

∫ a b 1 x P d x { P < 1 收 敛 P ≥ 1 发 散 } \int_{a}^{b } \frac{1}{x^P}dx\begin{Bmatrix}P<1 收敛 \\P\ge 1 发散 \end{Bmatrix} ∫ab?xP1?dx{P<1收敛P≥1发散?}
无限区间P比1越大越收敛，有限区间P比1越小越收敛。